1、引言

    球堆积与四色定理是跨世纪的著名数学难题——“古老、简单、通俗、现实”。 其代数几何都与当代数学组合、图论、拓扑有密切联系，都可以描述为“高幂多元多项式”。故这二个难题放在一起共用数学组合的概念。

从纯数学角度来讲，（1）、球堆积问题组成的多项式，分别有两种类型：欧几里德空间（属方形空间球堆积）与非欧几里德空间（属球形空间球堆积）。困难在于“欧氏与非欧”两类空间相容性及幂（指数）函数计算问题；（2）、四色定理组成的多项式，困难在于正则化系数及点态组合计算。依靠现有单一的传统数学体系与算法解决不了，至少是很艰难。

特别是当代数学基础形成各有优缺点的“函数论、集合论、直觉主义、逻辑主义”四大学派，对此也毫无办法。人们期望四大学派进行整合，成为一种新的数学体系和算法。整合的困难：直觉严密数学构造下，无限经典分析与集合论的相容性。

笔者应用 “倒数集合公理化”，拓展了传统“集合”算术四则运算，建立了“圆对数-圆网络”，一种集“函数论/集合论/直觉数学构造”为一体的新的数学体系，可以将多项式归化为同构的圆网络眏射及点态组合。成功地解决“球堆积问题”、“四色定理”。 其中：

（1）、解决方形（属欧几里德空间）与圆形（属非欧几里德空间）的球堆积猜想；“欧氏与非欧”两类空间的相容性；幂（指数）函数的计算。

（2）、提出多项式正则化系数是“倒数集合”的数学组合，证明四色定理充分性、唯一性。

圆对数不仅成功地把四大学派进行整合，成为一种新的数学体系和算法。厘清幂函数计算及多项式系数“倒数集合”的组合数学原理。此外还可以突破性地解决以高幂多元多项式为代表的一批世界性数学难题。具有证明严谨，逻辑合理，功能强大，应用广泛。

希望本文的陈述，能对国内外相关学者、老师、网友能够提供有益的帮助。不当之处敬请批评教正，欢迎交流合作。

2、倒数集合公理化定义

     倒数集合公理化定义是由集合论、图论、概率、拓扑，以及函数论、数值统计、模式识别中综合引申进行拓展的。

定义域：有函数、数值F(r^S) = f(Ω) =｛r ^k(S-0), r ^k(S-1), …, r ^k(S-p), … r ^k(S-q)｝∈ {R^Z}其中：｛｝：任意自封闭体系内的集合；r：任意函数、数值的底元素；k：元素的性质幂次，k =（+1，0，-1）；k(S-i)：直觉、可列的幂指数函数；S = m/n：任意数值；z =KS；

定义域包含着实数域，有自然数（N）、整数（Z）、实数（Q）、有理数（R）、复数（C），以及超实数域，有：无理数、超越数等，在圆平面或（多维）球空间内连续地协调展开；提取元素的共性以无穷循环的抽象圆形式对应处理无穷（层次、集合）方法；用集合圆心零点（中心点）（含圆心零点（中心点）在[0,1/2,1] 之间可移动的）精确描述布劳威尔零点理论

三条公理化性质：

（1）、规范性  0≤f (Ω) ≤1；

（2）、可正可负性  对f (Ω)上的任一元素（事件）可大于等于或小于等于0；

（3）、可四则运算  f (Ω) = ∑f (Ω) =∏f (Ω)；

样本空间：F(r^S) = f(Ω) =｛r ^k(S-0), r ^k(S-1), …, r ^k(S-p), … r ^k(S-q)｝∈ {R₀^Z}

其中：{R₀^Z} =（1/n）^+S｛r ^+(S-0) + r ^+(S-1) +…+ r ^+(S-p) +…+ r ^+(S-q)｝^+S； k =+1；(表示收敛)

{R_e^Z} =（1/n）^-S｛r ^{- (S-0)} + r ^-(S-1) +…+ r ^{- (S-p)} +…+ r ^{- (S-q)}｝^-S； k = -1；(表示发散)

{R₀^Z} =（1/n）^-S｛r ^0(S-0) + r ^0(S-1) +…+ r ^0(S-p) +…+ r ^0(S-q)｝^-S； k = -1；(表示中性)

3、 “圆对数-圆网络”定义

定义：圆对数表为：任意函数、数值在自封闭条件下，“任意函数、数值都可转化为无量纲相对协变圆为底的对数”，称圆对数-圆网络。是集“函数论/集合论/直觉数学构造”为一体的新型数学体系。突破了哥德尔不完备性定理，实现无限的经典分析与集合论的完备性、相容性。

有； f (Ω)   = ∑{ [ (1/n)^-S r^--S ]^-1 / ∑[ (1/n)^+S r^+S ] }⁺¹

= （1-η²）

其中：f (Ω)  = ∑[ (1/n)^-s r^-s ]^-1/ ∑[ (1/n)^+s r^+s ]⁺¹

= ∑[ (1/n)^-1 r^-+1 ]^-S/ ∑[ (1/n)⁺¹ r⁺¹ ]^+S

= ∑{ [ (1/n)^-1 r^--1 ] / ∑[ (1/n)⁺¹ r⁺¹ ] }^Z

= [0∽1]；

例如：黎曼（ζ）函数及欧拉公式，

ζ（S） =  ∑r ^-S  = r ^-(S-0) + r ^-(S-1) +…+ r ^-(S-p) +…+ r ^-(S-q) =（1-p^-S）^-1

式中：p跑遍所有素数

写成: ζ（S^-1）= {R_e^Z} =  ∑[r ^-S]^-1  = [ r ^-(S-0) + r ^-(S-1) +…+ r ^-(S-p) +…+ r ^-(S-q) ]^-1 =（1-p^-S）

与之一一对应的黎曼逆函数

有：  ζ（S）⁺¹ = {R₀^Z} = ∑[r ^+S]⁺¹  = [ r ^+(S-0) + r ^+(S-1) +…+ r ^+(S-p) +…+ r ^+(S-q) ]⁺¹ =（1-p^+S）

得到： （1-η²）^Z =  [（1/n）^-Sζ（S^-1）]^-1/ [ （1/n）^+Sζ（S）]⁺¹

=（1-p^-S）/（1-p^-S）^-1                                                  (3.1)

按集合论原则的一一对应相对性原理，实现集合论的函数化

有：（1-η_A²）∽（η_A²）= (A_i / R₀)；或[(R₀- A_i) / R₀]；或 [(R₀²- A_i ²) / R₀²]；

（1-η_B²）^kS∽（η_B²）^kS = (A_i / R₀) ^kS；或[(R₀- A_i) / R₀] ^kS；或[(R₀²- A_i ²) / R₀²] ^kS；

 (3.2)

有：（1-η²）=（1-η₀²）^k(S-0) +（（1-η₁²）^k(S-1) +…+（1-η_p²）^k(S-p) +…+（1-η_q²）^k(S-q)

    = ∑（1-η_i²）                                          (3.3)

（η²）=（η²）^k(S-0) +（η²）^k(S-1) +…+（η²）^k(S-p) +…+（η²）^k(S-q)    (3.4)

（η）=（η）^k(S-0) +（η）^k(S-1) +…+（η）^k(S-p) +…+（η）^k(S-q)      (3.5)

圆对数兼有相对性原理及对数计算规则的优点,成为独立的、新颖的数学算法体系。笔者另有相关文献记载其推导证明过程（略）。

4、元素的连乘组合等于倒数连加组合

目前，组合数学（Combinatorial mathematics），有两大类。

其一，离散数学（广义的组合数学）；离散数学是依赖于集合论、数理逻辑数学建立的。离散数学特征：集合范围内各个元素之间相互间没有牵涉，各自独立存在，反映集合元素的组合形式及作用。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。

其二，纠缠数学（狭义的组合数学）是图论、代数结构等的总称。纠缠数学特征：集合范围内各个元素之间相互作用（如现实的物理学、生命科学）存在纠缠现象，在任意自封闭集合的总元素不变条件下，一个以上元素变化，将涉及自身以外元素的变动，影响整个集合的效果。

上述两种组合数学都以不确定高幂多元代数方程描述。一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性，大多釆用近似计算求解。难度在于代数方程的“系数”计算问题的处理。其实代数方程的系数计算就是元素的连乘转化倒数连加的组合。

知：f(X) = ∏｛A·B·…·P·…·Q｝

设： R₀  = [ (1/N)⁺¹( A⁺¹+B⁺¹+…+P⁺¹+…+Q⁺¹) ]⁺¹；R_e  = [ (1/N)^-1( A^-1+B^-1+…+P^-1+…+Q^-1) ]^-1；

及：（1-η_A²）∽（η_A²）= (A_i / R₀)；或[(R₀- A_i) / R₀]；或 [(R₀²- A_i ²) / R₀²]；

（1-η_B²）^kS∽（η_B²）^kS = (A_i / R₀) ^kS；或[(R₀- A_i) / R₀] ^kS；或[(R₀²- A_i ²) / R₀²] ^kS；

有：f(X) = ∏｛A·B·…·P·…·Q｝

   = ｛(1/N)^-S[( A / R₀)^-1·(B / R₀)^-1·…·(P / R₀)^-1·…·(Q / R₀)^-1) ]^-1R₀^S

  = ｛(1/N)^-1[( A^-1 + B^-1 + … + P^-1+ … + Q ^-1)/ R₀^-S]^-1R₀^S

   =（1-η²）^S R₀^S

=（1-η²）R₀^S                                                (4.1)

（1-η²）=（1-η_A²）^k(S-0)·（（1-η_B²）^k(S-1)·…·（1-η_p²）^k(S-p)·…·（1-η_q²）^k(S-q)

  = ∏（1-η_i²）                                              (4.2)

（η²）=（η²）^k(S-0) +（η²）^k(S-1) +…+（η²）^k(S-p) +…+（η²）^k(S-q)        (4.3)

（η） =（η）^k(S-0) +（η）^k(S-1) +…+（η）^k(S-p) +…+（η）^k(S-q)           (4.4)

对于周期性圆函数（1-η²）^kS =（1-η²）^k                                  (4.5)

一、二项式系数与圆网络的点态组合

5、圆对数-圆网络与图论

18世纪，一个十分有趣的哥尼斯堡7桥问题提出来，许多著名数学家如欧拉进行了研究，提出用点代表事物，以连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。开创了图论这门数学分支。到集合论时代成为元素的“集合”，形成的抽象代数无法四则运算，应用受到限制。本文作者提出，将集合转化为圆网络。

定义5.1、数域空间与圆网络

定义空间有无限个点（数值），称数域空间。无限数域空间中任取有限的点组成有限数域空间，设一条自封闭的曲线连接有有限N个点（或线段）组成圆网络。这个数域空间具有完备性。引入“集合论一一对应相对性原理”，建立“圆网络-圆对数”概念。

(a)、圆网络上N个点（或线段）转化为N幂（维）代数方程，形成多项式。

   (b)、圆网络上N个点（或线段）眏射为N幂（维）代数方程，形成图论。

（1）、空心点—实圆弧（直线、曲线、圆曲面）（a，b，…r,… m），表示实圆网络可改变方向的交点，实圆弧（直线、圆曲面）数值。点在几何空间可以任意改变方向，引入圆网络变化方向的性质、数量。

（2）、实心点—虚拟圆弧（直线、圆曲面）（a，b，…r,… m），表示虚拟圆网络可改变方向的交点，虚拟圆弧表示（直线、圆曲面）数值、矢量、运动的性质和方向。

（3）、样本空间

（a）、数值取正数（算术）平均值：[R₀^S = (1/N)^+S∑r^+S]⁺¹；圆弧取曲率平均值倒数平均值：[R_e^S = (1/N)^-S∑r^-S]^-1；

 （b）、幂级数；｛ r^kS + r^k(S-1)+ … + r^k(S-p) + … + r^k(S-q) ｝= {R₀^Z}；

或：｛ r^kS ， r^k(S-1)， … ， r^k(S-p) + … + ，^k(S-q) ｝∈{R₀^Z}；

（4）、统一式：[R₀^Z = (1/N)^KS∑r^KS]^K ；或= (1/N)^K∑r^K]^KS；

式中：{ R₀^Z }分别表示正数，倒数的幂级数展开。Z=KS；K = (+1,0,-1)；

当：圆网络化的高幂多项式由不同的R_0i^Z 组成同心的緯向及径向圆网络；其眏射到平面时，形成同心的拓扑平面同态圆网络。统称“圆对数-圆网络”同构映射。

定义5.3、数域空间的平衡中心

数域空间在有限范围内一定有个平衡点（布劳威尔定理），称中心零点。以“中心零点、平衡点（O₀）”为原点作一个任意封闭（可全体或局部封闭）半径{R₀^Z}的环向拓扑平面圆（折线、圆曲线、圆球面、环球面），代表着数域空间全部数值（D、D₀^Z）。多项式{R₀^Z}与平衡值（D、D₀^Z）组成圆网络代数平衡方程{ D ^Z}；

有：{ R₀^Z }±{ D ^Z} ={ R₀^Z±D ^Z } ^K

= Ax^kS + Bx^k(S-1)+ … + Px^k(S-p) + … + Qx^k(S-q) ±D   = 0

得：（1-η²）{ R₀^Z }=（1-η²）{D^Z} ；{R^Z} = {D^Z}；

其中：（∑ω_i^k）∈ P(Ω) ； 0 ≤ P(Ω) = “（1-η²）～（η）”≤ 1；{R^Z} = {D^Z}中各元素一一对应相等；

6、高幂二项式展开的系数是倒数组合的个数

任意自封闭圆网络中，对应S个元素 ∏｛A·B·…·P·…·Q｝分别进行组合连乘时，

设：｛ X^k(S-0) ，X^k(S-1) ，…，X^k(S-p) ，…，X^k(S-q)｝∈｛R₀^Z｝；

有： F(x) = A X^k(S-0)+B X^k(S-1)+…+P ^k(S-p) +…+Q X^k(S-q) =（1-η²）｛R₀^Z｝

二项式条件下：

F(x) = C₀X^k(S-0)+ C₁X^k(S-1)D ^k+ C₂X^k(S-1)D ^k2+…+ C_p^k(S-p)D ^kp+…+C_qX^k(S-q)D ^kq±D

   =（1-η²）｛R₀±D₀｝^Z                                                          (6.1)

平衡条件下，（1-η²）= [0,1]；｛R₀^Z= D₀ ^Z｝，方程成为幂函数、指数函数、历史总和、

Z = KS = k(S-0) +k(S-1) +…+k(S-p) +…+k(S-q)                   (6.2)

有：S维元素二个元素(二二组合)连乘的个数C₂

∏｛A·B｝^k(S-1) = [（A^-1+B^-1）+（B^-1+C^-1）+…+（p^-1+M^-1）+（A^-1+Q^-1）] R₀^k(S-1)

     =  C₂（1-η²）^k(S-1)R₀ ^k(S-1)                                      (6.3)

有：S维元素三个元素(三三组合)连乘的个数C₃

∏｛A·B·C｝^k(S-2)  = [（A^-1+B^-1+C^-1）^-1 +（B^-1+C^-1+P^-1）^-1+…+（A^-1+B^-1+Q^-1）^-1] R₀^k(S-2)

            = C₃（1-η²）^k(S-2)R₀ ^k(S-2)                                               (6.4) 

有：F（X）=  (X ^k±R ^k) ^kS

= AX ^k(S-0) + BX ^k(S-1) R^k +…+ PX^k(S-p) R ^kP +…+QX^k(S-q) R ^kQ +…+ AR^k(S-0)

= C_AX ^k(S-0) + C_BX ^k(S-1) R^k +…+ C_pX^k(S-p) R ^k +…+ C_qX^k(S-q)R^k +…+ C₁R^k(S-0)

=（1-η²）[2R₀]^kS                                          (6.5)

       C_n  = ∑C_i = C₀ + C₁ +…+ C_p-1+…+ C_Q-1+ C₀ = 2 ^S                           (6.6)

得：二项式系数C_i的展开分别为各个幂次数的连乘组合或倒数之和的个数。

     C_N =（A，B，…，P，…，Q ，A）=（C₀，C₁，…，C_p，…，C_q，C₀）= S_(N-1)! /(N-1) !

式中：C_N：方程式系数；N：多项式序列所在项（N=S+1）；S：幂（维）次数；!：阶乘。

其中：A =（a^kb^k…p^k…q^k）^k  = C₀；第一项组成倒数个数

  B = (a^k+b^k+…+ p^k +…+ q^k) ^k = C₁；第二项组成倒数个数

C = [（a^kb^k）+（b^kc^k）+…+ (p^km^k) +…+ (q^ka^k）]^k = C₂；第三项二二组合倒数个数…；

D = [（a^kb^kc^k）^k+(b^kc^km^k) ^k…+(p^ki^kj^k) ^k…+(q^ka^kb^k）]^k = C₃；第四项三三组合倒数个数。…；

Q = [（a^kb^k…q^k）^k+(b^kc^kd^k…q^k) ^k…+(c^ki^kj^k…q^k) ^k…+(a^kq^kb^k…q^k）]^k  = C_q；第项（Q-1）（Q-1）组合倒数个数. …；

A =（ab…p…q）= C₀；第 (N+1)项，末项. 

这里，系数的组成就是二项式的杨辉-帕斯卡系数三角分布。再次给予应用圆对数方法的数学组合证明。

二、四色定理

7、四色定理是四个元素的连乘与倒数连加的组合

四色定理是一个著名的数学定理，如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样。

一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。

高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。1976年6月，美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，最终证明了四色定理，轰动了世界。但是，计算机证明并没有获得数学界普遍的认可。不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法来证明四色问题。

本文认为，它是一个高幂多元代数几何多项式，可以归化为圆对数的同构眏射。圆对数又转化为圆网络。圆网络上点（区域、图块）的联系个数（图论称：度）就是多项式系数的组合数学问题。

定义一个自封闭圆(球)同胚（一个中心）网络图中，（纬向或经向）球面网络上的点（区域、图块）表示维次的代数方程式，有S个方程的根——点（区域、图块）。 当一个点（区域、图块）有序地不重复与其他任意三个点组成一个集合体，成为二项式展开的四四组合系数。集合体内四点之间，保证有三条不重复的边（联系）和集合体的个数计算。

5.1、四色定理存在性及充分性的证明

知：∏｛A·B·…·P…·Q｝S个元素,组成 S维代数方程式

代数方程系数，见公式（6.1）-（6.6）四个元素(四四组合)连乘数等于倒数连加数。

∏｛A·B·C·D｝^k(S-3)  = [（A^-1+B^-1+C^-1+C^-1）^-1 +（B^-1+C^-1+M^-1+P^-1）^-1

+…+（A^-1+B^-1+N^-1+Q^-1）^-1]  R_{0 (AB)} ^k(S-3)

= C₄（1-η²）^k(S-3)R₀ ^k(S-3)                                     (7.1)

对于（S）维的二项式展开中系数数值(C₄)成为四个元素“连乘等于倒数连加”的个数。四四组合的点，在图论中四个元素；在圆网络为四个点成为“四色”。证明了四色定理(四四组合)的存在性及充分性，确保证四个点的联系不重复。

有：   (C₄)  = ∏｛A·B·C·D｝^k(S-3) = S_(N-1)! /(N-1) !

           =  S(S-1)(S-2)(S-3) / 3·2·1

=  （1/6）S(S-1)(S-2)(S-3)                                (7.2)

2、四色定理的唯一性及必要性的证明

这里S维次代数几何多项式归化为圆网络上S个点(点态),在平面上（图论）反映为点(点态)联系（度）的组合方式。如圆网络空间上四个点Ａ-（Ｂ、Ｃ、Ｄ）有三条联系线，组成空间的三菱（锥）体，形成边界最少围成的空间体形。三菱（锥）体的顶点（区域、图块）眏射（投影）到平面圆内，互为邻边的图形有三个（区域、图块）联系边界。同样得出四色定理具有在一个平面内最少有三条互有邻边的图形，另外还可根据1735年欧拉定理：“任何图中，度为奇数的点的个数一定为偶数”，这便是握手定理——图论的第一个定理，得到“四个点三个度”。上述二种方法成为四色定理必要性及唯一性的证明

结论：从多项式系数展开中的系数(C₄)（四四组合）“充分性与唯一性”成为完整的四色定理的证明。四色定理属于多项式或圆代数系数展开中的一种(C₄)系数组合，其系数计算与多项式未知元素的变化及类型无关。

验证：嬉称1976年6月，美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，通过S ≥  100亿幂（维次）计算（充分性）证明。用多项式的四四组合的系数(C₄)【见公式（7.2）】，几分钟计算（充分性）证明了四色定理。（证毕）