英国数学史家斯科特在《数学史》^[p133]中说，“现代计算方法之所以有奇迹般的力量，是由于三大发明，即阿拉佰数字、小数和对数。”其中对数：纳披尔以(a = 10)为底指数函数（log x），称常用对数；欧拉以(e =2.71287128…)为底指数函数（ln x），称自然对数。这些数学特征：

（1）、以某个“固定数值”为底与任意数值之比，形成对数（指数）；

（2）、元素的连乘转换为指数连加等，建立了对数计算规则，并拓展为函数概念。

函数概念又分化为：

（1）、几何概念，建立了牛顿-莱布尼茨的微积分分析。

（2）、代数概念，建立了欧拉为代表的代数、算术分析。

今天函数概念相互渗透到各个科学领域。推动着近代科学的发展。

回顾数学史，18-19世纪，出现许多新的数学发明创造，函数可以处理不一定是实数或复数的对象所组成的集合。向量、四元数、矩阵、二次型ax²+bxy+cy²、各种形式的超复数、变换、替换等在各自集合所特有的运算和运算规律下联系起来。

20世纪初数学家们发现上述各种数学元素组成和集合，可以服从一种运算，这种运算的特性仅仅由某些抽象性质来规定，抽象代数成了20世纪人们喜爱的领域之一。由于抽象代数系不同作者制造出一大堆意义相近的名称，出现在不同的数学分支中，足够让人眼花缭乱。

但是，抽象代数并不万能，公理化定义有着严重的缺陷，如：[（a^-S）^-1] /[（a^+S）⁺¹ ]=1吗？否。即：自身除自身不一定是“1”。 可事实证明：是0≤∑ [（a^-S）^-1] /[∑（a^+S）⁺¹ ]≤1，著名的黎曼函数中的调和级数一定是不收敛吗？否。调和级数可以是收敛、有极限的。

数学的相互渗透性，让不少数学家认为现有数学基础不乐观，还有许多新的数学难题无奈解决。纷纷疑问打破了当今数学界、科学界的宁静。

1960年美国数学家哥德尔提出“无穷小微积分分析有不可估量的前景”；1983年中国数学家徐利治提出“无穷小点态连续性与正则化”概念。20世纪中期美国数学家朗兰茲猜想，数学中或还可能有一个未发现的、更为简洁的自然规律，有它实现数学大统一。称“朗兰茲纲领”。现在数学家们试图把几何、代数、算术的分析方法统一起来，或是大自然的一个最终规律。

圆对数正是满足上述要求应运而生。然尔，圆对数不是凭空而来的。1763年英国数学家贝叶斯提出了相对性原理，说的是先验条件与后验条件之比形成相对性原理。这是他在研究台球运动中得到的概率规律。这个概率（Prob）与现有概率计算不同。

Prob(S/M) = [Prob (M) /Prob(S)] Prob (M/S)

称贝叶斯定理。它的出现遭到不少权威数学家们反对，说是缺乏数学严密性，如何确定先验条件？难以接受。

一百五十年后，1905年爱因斯坦应用了相对性原理，以“不变光速”（先验条件）为比照基本点与“粒子速度”之比，形成狭义相对论，V = [1- (v²/C²)]C²,成功地证明光在引力场是弯曲的。十年后进一步推导了广义相对论。尽管证明相对论是事实，也有不少争议。二百五十年后，2004年才由他人出版了贝叶斯理论专著。国际上于1998年成立贝叶斯理论研究学会。

今天科学的发展，人类在探索中发现：宏观与微观世界中，都存在共同的“随机的、不连续、不对称、多层次”变化性。如何实现自洽统一描述，形成许多科学家、数学家探索的焦点。

众所周知,传统对数（指数）,虽然在数学发展中取得很大成绩，但也留下是它的固疾——处理不了“变化性”中的“自洽性”。也就是说，“固定数值为底与任意变化的指数”。也有人说“宏观与微观世界”产生了不可调和的矛盾。它们面临着今天科学的挑战。

圆对数(1-η²)是“相对可变圆为底的对数”。明确地说，相对可变圆为底的对数：是“任意自封闭的系统（含任意函数、数值）中，选择任意一个数值（大多是平均值、或起点、或终点值）为比照基本点与系统中各个元素数值之比，形成自洽单值群和同构的圆对数”。这样一来，人们热衷的“量子”不一定都是“均匀圆”形式，相对可变圆具有“随机的、不连续、不对称、多层次”变化性中有很大、很多灵活性，可以与指数函数同步自洽变化。本文作者应用它处理了一批以黎曼函数为代表的数学难题。

形式上把狭义相对论[1- (v²/C²) ] 变换为(1-η²)^Z ,其中：η=(v/C) 并不限于“速度之比”。称为圆对数,也称相对论替代公式。“相对论替代公式”这一名称仅仅是为了方便理解及其联想，其内涵却发生着根本变化。它不仅是物理上圆满地充实了相对论，以及合理地处理相对论与量子论自洽组合问题。在数学方法论上有其深刻的新的内涵，它以“倒数的集合公理化”为主题，几乎可以统一处理、包含着从初等函数到近代函数的大部分内容。说它一种数学方法的重大发现与突破，并不为过。