问：怎样理解圆对数？
答：初接触圆对数的学者感到不容易理解，不少网友在博客向笔者反映。我也一直思索：如何把这个问题讲清楚。圆对数具有：兼容函数论、集合论特征，一个综合、新颖、独立的计算体系，或成为新的第三大类数学基础理论。因此不能用某一类传统数学的概念来理解。
回顾，函数论（希尔佰特形式主义论）以其严密性建立了一代数学基础。1931年澳大利亚数学家哥德尔说：函数论“不具完备性”，出现了康托尔公理化以及ZFC连续统形成新的集合论（抽象代数）。圆对数将上述两类数学基础各自的特征；保留函数论逻辑严密性概念加上拓展了集合论的完备性进行组合。也就是说，圆对数使“函数论进行集合论化，集合论（连续统）进行函数论化”。
（1）、说圆对数像函数论，其函数幂次在相对性原理下可“置换”，不能全盘按照纯函数论规则计算。它具有集合论的特征。
（2）、说圆对数像集合论，其集合论的公理化有新的拓展，“自身的集合除自身的集合不一定是1”，不能完全按照纯集合论（抽象代数）规则计算，它具有函数论的特征。
（3）、圆对数是综合概念的数学，是兼容函数论、集合论特征的，第三大类数学基础理论”。不能用某一类单一传统数学的概念来理解。
首先，圆对数强调任意函数、数值的“自封闭”概念，选择任意函数、数值内部“倒数、正数、线性”的集合，进行集合论中一一对应的“相对性比照”（包含相对论的“以不变光速为比照基准点”，以及量子论的波动方程形式）。特别是富利埃提出“任意函数都可以转化为圆函数”，勒让德提出“任意圆函数都可以转化为椭圆函数”，借鉴“椭圆函数与圆函数关系”和“对数的计算规则”，建立了圆对数具有兼容函数论、集合论，成为新颖、独立的第三大类数学基础。可以广泛应用于代数-几何-算术的拓扑、概论、混沌……。
其次，圆对数有如下创新点：
（1）任意函数都可以归化为自封闭的倒数集合形成相对可变的圆为底的对数和单値群。也就是说，提取任意函数各个元素成为“一个变量”，形成具有统一变化的共性。摆脱了传统函数分析中元素纠缠变化的困难。数学描述W = (1-η2) Z W0
（2）W表示事件，即“任意函数、数值”，突破了传统限于“实数”的数学定义域。因此圆对数的计算对象只要有“关联的集合”都可以成立，数学中包含任意“实数与超实数”。有人提出：一头大象与一棵大树有“关联”吗？它们可不可以集合？答：首先有没有站在“关联”的角度来看，你若从“生命树”角度来看，大象与大树有“关联”的，可以集合。否则是没有“关联”的，谈不上“集合”。
世界上所有事件从宏观到微观，都是有“关联”的。从力学物理角度来看，相对论与量子论是有“关联”的，可以“集合”成为一个统一体。
（3）拓展传统集合论“自身的集合除自身的集合不一定是1”，以及“集合论的可加、可负、可乘、可除性”。提出新的“倒数集合公理化”：
有：（2.1） (1-η2) Z =∣∑[(1/n) -S r-S]-1 /∑[(1/n) +S r+S]+1∣Z；0≤ (1-η2) Z≤1；
（4）拓展传统函数论中的幂函数与底因子数值可分离与置换性。
有：（2.2） (1-η2) Z =∣∑[(1/n) -S r-S]-1 /∑[(1/n) +S r+S]+1∣Z
=∣∑[(1/n) -S r-S]-1 /R0+S]+1∣Z
=∣∑[(1/n) -1 r-1]-1 /R0+1]+S∣Z
=∣(R0 -ri)] / R0∣Z
=∣(R02 -ri2)] / R02∣Z；0≤ (1-η2) Z≤1；
（5）元素的“倒数连加”就是元素的“倒数连乘” 无悬念地处理了“连加与连乘”的“等价性”，厘清了“欧拉乘积-黎曼函数”公式之间的关系。它是几个世纪来积存的数学难题。
有：有：共同的圆对数因子形式：
（2.3） (1-η2) Z = ∑(1-η2) Z = ∏(1-η2) Z ；Z=KS；
(η2) = ∑ (ηi2) ；(η) = ∑ (ηi)；(η) = ∑ (ηi)KS；
（6）、圆对数的因子(η)与指数函数或幂级数性质(Z)，在倒数集合公理化中，它的性质由Z=KS控制，
（１）爱因斯坦提出的数值统计方法，用圆对数描述，Ｋ＝０条件下：
（2.4）ｍ(1-η2) Z =∣∑[（ｍr）-S]-1 / ∑[（ｍr）+S]+1∣Z；
ｍ０ =∣∑[（ｍr）＋S]＋1 /∑[（r）+S]+1∣Z；(1-η2) Z =1
（２）应用于引力／强力作用场，Ｋ＝＋１：
（2.5）０≤(1-η2) ＋１≤ １；∣∑[（ｍr）-S]-1 ≤∑[（ｍr）+S]+1∣Z；
（３）应用于电磁力／弱力作用场，Ｋ＝－１：
（2.6）０≤(1-η2) －１≤ １；∣∑[（ｍr）-S]-1 ≥∑[（ｍr）+S]+1∣Z；
（４）应用于光子力作用场，Ｋ＝０：
（2.7）０≤(1-η2) ０ ≤ １；∣∑[（ｍr）-S]０ ≤∑[（ｍr）+S]０∣Z；
这里，（ｚ）为幂级数展开，适应其无限的“不均匀、不连续、、不对称性”。当平衡条件下（ｚ）与（η）具有同步变化性，可以消除因子函数与指数函数之间“不对称性的差值”。如素数定理中的“大O”，杨-米的“宇称不守衡”，孙祖训的“质子自旋危机”等属于各层次量粒子不均匀分布的“残数”。
笔者称，圆对数是一个简单的公式“几乎包容整个宇宙世界”，是一个综合的数学基础公式。因此说，理解和运用圆对数：必须更新、补充我们传统的数学理解模式。
